Gustaf Björkquist var son till handlanden Gustaf Björkquist och Charlotta Adolfina Rydberg. Han blev elev vid Kungl. Svea Livgarde 1890, studerade vid Kungl. Musikkonservatoriet, Stockholm, 1896-1905 och avlade musikdirektörsexamen 1902.
Han var musikanförare vid Livregementets Grenadjärer 1909 (I 3:s musikkår), musikunderlöjtnant 1912 och kapten vid Livregementets Grenadjärer 1926. Pensionerad 1930. Dirigent för Örebro musikförening 1912-15, för Folkorkestern Lyran 1934-1954

Björkquist utgav ett femtontal skrifter och böcker, komponerade ett tiotal marscher, diverse dansmusik, konserter och fantasier. Han gav över 500 konserter för välgörande ändamål vid sjukhus, vårdhem och krigsinvalider.

Inspektör och instruktör för musikkårer, ordförande för Folkorkestern Lyran, ledamot av Stockholms orkesterförenings styrelse och Svenska Militärmusikdirektörföreningens styrelse.